“理发师不帮自己理发的人理发 那他该不该帮自己理发？”

本篇文章2849字，读完约7分钟

原创的helen罗博深数学正文来自公众号“罗博深数学”

公众号id|luoboshenmath

作者

导语

我们必须知道。 我们一定知道。

wir mu？ ssen wissen、wir werden wissen

——大卫·希尔伯特，德国数学家大卫·希尔伯特( 1862-1943年)。

在苏格拉底之前的传言中已经消失的“众神时代”中，普罗提哥拉( protagorus )提出:“人是万物的尺度，存在的事物存在的尺度，也是不存在的事物存在的尺度。” 从那时起，“人”和“人的认识”开始成为我们关注的命题。

“人是什么”、“世界是什么”、“人如何认知世界”是哲学史上永恒的话题。 数学家认知世界的方法是一步步的解释。 罗教授经常说，正因为说明的每一步都是可靠的，我们才能把一种信仰从已知的一步走向未知，转移到另一种信仰上。 我们能依靠现有的解释方法探索所有的数学题吗？ 人类的认识有限度吗？ 1900年，希尔伯特( david hilbert )提出了他著名的23个问题。 这23个问题涉及数学的各个方面，到今天为止指导了数学家们前进的方向。 其中第二个问题，也是有名的“判定问题”。 这个问题指向了数学的基础，这个问题的答案关系到我们认知世界的方法。

我们关心的是整个数学系统是否完备和是否一致。 所有的数学命题都是黑白的吗？ 能通过有限次正确的数学步骤进行判定吗？ 我们总是希望当我们通过数理逻辑探索世界时，每个命题，都是真的还是假的。 更重要的是，需要知道所有命题都可以判定。 “上帝真的存在吗？ ’大多数人认为答案是肯定的。有些人认为答案是否定的。有些人认为我们永远不会得到答案。 当然，这不是数学问题，希尔伯特也不希望数学系有这样的问题。 大卫·希尔伯特

要雄心勃勃，严格公理化整个数学系统，用他的“原数学”说明整个数学系统是坚实的。 这就是赫赫有名的“希尔伯特计划”

1 .首先，将所有的数学形式化，用符号表达各自的数学陈述。 你可能记得我们学过的东西(任意，“？” 有“彐”等。 由于逻辑关系有限，符号也必然有限。 除了有限的英语文字外，我们还可以把这些要素全部编码，用自然数来表示。

2 .然后，说明整个数学系统很完备( complete )，即任何数学叙述都有数学说明。

3 .另外，必须说明数学是一致的( consistent )，也就是说这个数学系统没有矛盾的命题。

4 .最后，有一个可行的算法，用有限步程序最终判定数学命题。 理想的宏观已经展开，希尔伯特对此非常有信心，同时断言“没有解决不了的问题”。 像任何理想主义者一样，希尔伯特痛恨矛盾共同体，更痛恨无法处理的问题。 库尔特·弗里德里希·哥德尔( 1906年-1978年)

1930年9月7日，25岁的数学家哥德尔( kurt friedrich go )？ del )发表了着名的“不完全定理”( imcompleteness theorem )。 “如果数学系统一致，那就不完整”。 换句话说，哥德尔表示，包括算术系统在内的任何数学系统都是不可能的，完全一致。

这里的算术系统是指，皮亚诺( giuseppe peano )在19世纪建立了看起来完全一样的算术系统，可以根据一些基本公理导出许多其他复杂的算法。 这就是希尔伯特计划的第二步，数学家们曾设想在此基础上建立完整的数学系统。 也就是说，不需要很多复杂的系统。 如果人们能在一个数学系统中做最简单的算术，这个系统就会矛盾，或者在这个系统中有无法解释的结论。 其次，他解释说，对包括数学系统在内的任何一个数学系统来说，在这个系统内部都不能说明其自身的一致性:我们不能用某个数学系统的所有逻辑来说明这个数学系统不矛盾。 也就是说，王婆卖瓜，卖瓜就卖瓜，但不能自吹自擂。 那个卖矛盾和卖矛盾的哥哥，用他自己的矛盾攻击自己的矛盾，结果不知道。

哥德尔的结论对当时整个数学界来说，无疑是一个很有吸引力的冲击。 80多年过去了，“哥德尔不完全定理”的影响仍在持续，甚至成为了“失火”的“爆款定理”。 很多网民对此有各种各样的解释。 其中一种解读认为哥德尔说明了人类的认识有限，开始批判人类的理性，将其作为不可知论的支持证据之一。 就像总是被误解的尼采一样，谈到不完全定理，我们想到的是人类理性认识的滑铁卢，这种印象是片面的。 伯特兰·亚瑟·威廉·罗素( 1872年-1970年)

“哥德尔不完全定理”的说明不是人类理性的极限，相反是人类理性的光。 其本身的深度是人类理性智慧的最好说明。 我想了一下，这个解释的味道和罗素悖论很相似。 这个悖论大家可能听说过，在中学的时候，老师告诉我们认知集合，赋予了我们一个性质，所有满足这个性质的要素总是可以构成一个集合。 比如卡内基梅隆大学的全体毕业生集合。 但是罗素( bertrand russell )认为这个事件不可靠。 例如，现在我们有集合a。 这个集合中的所有元素都不属于它自己(它不是自己集合的元素)。 。 那么，a自己有两种情况。

1. a是自己的，它是自己这个集合中的要素。 但是，因为a这个集合的要素不是全部是自己的，所以不是自己这个集合的要素，而是说矛盾。

2. a不属于自己，所以它不是自己这个集合的要素。 但是从a这个集合的性质可以看出，不属于自己集合的都是a的要素，依然矛盾。

其实这个悖论有一个一般的版本叫理发师悖论。

这个城市唯一的理发师做了如下规定:只有不理发的人理发。 那么理发师应该为自己理发吗？ 理发师无法做出决定

1 .理发师不给自己理发时，他需要遵守规则，帮助自己理发。

2 .理发师自己理发的时候，他需要遵守规则，不给自己理发。

哥德尔的解释是我们熟悉的味道，他在公理体系内提出了无法解释的命题。 这个命题的文案是“命题本身在这个公理系统内无法解释”。 哥德尔清楚地解释了这些，证明了这个命题是正确的。 所以，“哥德尔不完全定理”的解释过程告诉我们，其实这个公理体系内有可以表达的命题，但在这个公理体系内既不能解释也不能证伪。 “哥德尔不完全定理”确实预示着某个“极限”，但这个“极限”是“某种数学体系的极限”，不是“数理逻辑的极限”，也不是“人的理性的极限”。 相反，它引导数学家下一个探索的方向。 揭示公理体系的局限性，告诉数学家们，不要期望只将体系建立在几个公理上，机械地利用“原数学”的基本逻辑规则进行导出，就能判定所有的数学命题。 所有公理体系都需要不断完善自身，以帮助我们不断认识更深刻和更复杂的规律。

希尔伯特计划可能失败了，但他墓碑上刻的格言永远指引一代数学家走向继承人:我们必须知道，我们应该知道吧。

原标题:“理发师不帮我理发的人会理发，所以他不能帮我理发吗？ ’

浏览原文信息进行推荐

德国延长并收紧了新冠防疫措施

新华社柏林11月25日电(记者张毅荣)德国联邦和各州政府25日晚就将11月初开始实施的新冠防疫限制措施延长至12月20日达成协议。 ...