“路漫漫其修远兮 麦克斯韦方程进化史”

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编者的话

对麦克斯韦、法拉第等物理学最大、最深的贡献是发现物质存在的新形态——场形态的物质存在。 以前，物质被认为是不可分割的。 分解后，构成这些物质的基本构件都可以看作粒子，因此认为物质是由粒子构成的，物质的存在形态只有粒子形态之一。 只要有描绘粒子运动的牛顿定律，我们就可以描绘所有物质的运动。 麦克斯韦发现了电磁波，但电磁波不是由粒子构成的，所以麦克斯韦发现了物质存在的新形态——场的形态。 麦克斯韦方程是描述这种场形态的物质的运动方程。 这种场形态的新存在，又是一种相互作用——电磁相互作用的起源。 如此看来，重力的相互作用还来源于其他场形态的物质的存在吗？ 爱因斯坦给出了肯定的回答:重力相互作用对应于另一种场形态的物质的存在:引力波。 然后，量子力学进一步统一了这两种物质的存在形式:波(场)是粒子，粒子是波(场)。 这就是几百年来物理迅速发展的大线。

——文小刚

写作|詹姆斯·劳蒂奥( james c. rautio )

翻译

校对|雨遇

如果你想崇拜伟大的物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦( james clerk maxwell )，那个地方有很多。 伦敦西敏寺( westminster abbey )有一座离牛顿墓不远的麦克斯韦纪念碑。 最近在爱丁堡，在这位科学家的出生地附近，也矗立着宏伟的雕像。 或者，也可以去苏格兰西南部道格拉斯城( castle douglas )附近的他最后安息之地表示敬意。 不远的地方是我最喜欢的祖屋。 这些纪念性的标志，都恰当地表达了最初提出物理统一理论，同时展现出电磁不可分割特征的伟人。

但是，这些丰碑并没有显示出另一个隐藏的地方。 在麦克斯韦去世的1879年，他是为现代技术世界奠定了许多基础的电磁理论，还没有站稳脚跟。

记述这个世界的许多新闻，也就是支配光的行为、电的流动、磁力的基本规则，可以归纳为四个美丽的方程式。 现在，这些统称为麦克斯韦方程组的公式已经扬名天下，几乎所有入门级的工程学和物理学教科书都可以看到其身影。

但是，关于这些方程是否诞生于1864年的12月，还存在争议，当时麦克斯韦向伦敦英国皇家学会提出了自己的电磁统一理论，并于次年的1865年发表了完美的报告。 这项事业为继物理学、无线通信和电气工程之后的所有伟大成果提供了基础。

展示和运用之间还有很大的差距。 麦克斯韦理论的数学和概念基础这么多，复杂，违背直觉，所以这个理论自首次提出后，基本上处于被忽视的状况。

为了给麦克斯韦的理论奠定坚实的基础，一小群执着于电磁奥秘的物理学家耗费了近25年的时间。 他们中有些人收集实验证据证明光是由电磁波构成的，有些人把麦克斯韦方程转换成现在的形式。 德克萨斯大学奥斯汀分校的历史学家布鲁斯·亨特( bruce j. hunt )将这些物理学家称为“麦克斯韦学派”。 如果没有他们的巨大努力，现代电磁概念可能还需要几十年。 这样的延迟，将进一步拖累后续所有不可思议的科学技术的诞生时间。

迄今为止，人们已经发现可见光实质上是一种广阔的电磁波谱，其辐射由振荡的电场和磁场组成。 我们知道电和磁是分不开的。变化的磁场产生电场，电流和变化的电场再次产生磁场。

四则黄金法则

现在，电磁之间的关系和光和一般的电磁辐射的波动性可以用上图所示的四则“麦克斯韦方程式”来表现。 这些方程式可以用不同的方法写。 式中，j是电流密度。 e和b分别表示电场和磁场。 另外两个场是位移场d和磁场h。 它们通过常数与e和b相关联，这些常数反映了磁场通过的介质的特征(在真空中，这些常数的值可以组合起来导出光速)。 。 位移场d是麦克斯韦的重要贡献之一，最后一个方程展示了电流和变化的电场是如何产生磁场的。 每个方程式最左边的符号表示微分运算符。 这些简洁的微分式中含有向量，即具有方向性的物理量，也含有x、y、z的空间成分。 麦克斯韦最初提出的电磁理论公式包括20个方程式。

我必须感谢麦克斯韦掌握了这些基本观点。 但不是麦克斯韦的突然灵感。 他需要的经验事实是在过去的50多年中慢慢积累起来的。

可以把历史的时钟放回1800年。 那一年物理学家亚历山大·博尔特发明了电池，实验科学家们可以利用连续的直流电开始研究。 大约二十年后，汉斯·克里斯蒂安·奥斯特( hans christian )？ rsted )掌握了电磁之间关联的最初证据，发现接近通电导线时指南针的指针会发生偏转。 不久，安德鲁·玛丽安培( andré-marie ampère )的研究表明，两条平行通电导线表现出相互吸引和排斥的作用，具体的作用效果取决于电流的相对方向。 20世纪30年代初，迈克尔·法拉第发现，正如电影响磁铁的行为一样，磁铁相反会影响电力，因此可以通过拖动磁铁通过线圈来产生电流。

这些注意结果都是零碎作用的证据，没有人能通过系统和综合的方法真正理解。 电流的本质是什么？ 通电线圈不直接接触时为什么会作用于磁铁？ 运动的磁铁是怎么产生电流的？

法拉第种下了重要的思维火种。 他设想磁铁周围存在着神秘而看不见的“电紧张状态”，也就是我们今天所称的场。 他断定电紧张状态的变化是电磁现象发生的原因。 法拉第推测光本身也是电磁波。 但是，把这些想法变成完美的理论超出了他的数学能力。 麦克斯韦开始登上科学舞台时，电磁学的研究现状就是如此。

19世纪50年代，毕业于英国剑桥大学的麦克斯韦试图从数学上给法拉第提供注意结果和研究理论。 1855年发表的法拉第力线( onFaraday )的文章是他最初的尝试，在这篇论文中设想了一个比模型，表示描述非压缩流体的方程式也可以用于恒定电场和磁场的问题。

但是，一连串的干扰中断了麦克斯韦的工作。 1856年，他在苏格兰阿伯丁的马修学院( marischal college )获得了职位。他对土星环的稳定性开展了数年的数学研究。1860年，因一所大学的合并，他被解雇。 感染天花，几乎丧命，最后找到了成为伦敦国王学院( king )教授的新工作。

总之，麦克斯韦就这样一点一点地充实着法拉第的场理论。 虽然完美的电磁理论还没有形成，但分为1861年和1862年年轻干部相继发表的论文，解释说是重要的晋升阶段。

根据以前的理论，麦克斯韦假设存在磁场以旋转涡旋阵列的形式存在的分子介质。 某种形状的微小粒子包围着各自的漩涡，使漩涡的旋转相互传播。 后来，他把这个力学构想抛在一边，但麦克斯韦发现它有助于解释一系列的电磁现象。 也许这个构想最重要的意义在于它为新的物理概念——位移电流奠定了基础。

位移电流不是真正的电流。 这是一种为了电流变化产生磁场，比较通过特定区域的电场变化时如何产生磁场的记述方法。 在麦克斯韦模型中，当涡旋介质中微粒的位置随电场变化而瞬间变化时，就会出现位移电流。 也就是说，这些微粒的运动会生成电流。

位移电流最引人注目的展示之一出现在电容器上。 在一些电路中，电容器的两块平板之间储存的能量会产生高低值的振动。 很容易想象麦克斯韦的力学模型在这样的系统中是如何工作的。 一般认为，当电容器含有绝缘的电介质材料时，位移电流是由原子核周围束缚的电子的运动产生的。 这些电子从一侧往返到另一侧，仿佛被紧张的橡皮筋系在一起。 但是，麦克斯韦的位移电流比上述表现更基础。 它发生在任何介质中，甚至包括真空，那里不存在能够产生电流的电子。 和实际电流一样，位移电流也会产生磁场。

补充上述概念，麦克斯韦具有将可测量电路的特征和两个常数联系起来所需的基本要素。 这两个常数目前未被采用，表示响应电压和电流时电场和磁场形成的难易程度。 (现在，我们用自由空间的介电常数和导磁率定义了这些基本常数。 ）

弹簧常数也可以合并这些常数，以确定拉伸或压缩后弹簧的恢复速度，从而明确电磁波在自由空间中的传输速度。 其他研究人员利用电容器和电感器测量相关数值后，麦克斯韦可以估算电磁波在真空中的传输速度。 通过将该数值与已知的光速评价值进行比较，发现两者近似，引导光无疑也是电磁波。

1864年，麦克斯韦完成了电磁理论的最后一个重要谜题。 当时，他33岁(在之后的研究中他只是稍微简化了一下)。 在随后的讨论和论文中，他放弃了原来的力学模型，但保存了位移电流的概念。 通过深入的数学研究，他解释了电磁之间的相关方法，以及在合适的条件下其共同作用是如何产生电磁波的。

这个研究成果是现代电磁学理论的基础，为物理学家和工程师们提供了所有必要的工具。 利用这些工具，可以计算电荷、电场、电流、磁场的相互关系。

但是，当时这个诱人的成果受到了严重的质疑，有些质疑的声音来自麦克斯韦最亲密的同事。 最坦率的反对意见来自威廉·汤姆森爵士( sir william thomson )，也就是后来的开尔文爵士( lord kelvin )。 当时英国科学界的泰斗不相信有位移电流这样的东西存在。

汤姆森的反对理由很合理。 在充满原子的介质中，位移电流的存在是另一回事，但想象它是形成在虚无缥缈的真空中，则是另一回事。 缺乏描述这种环境的力学模型，不存在实际运动的电荷，不知道什么是位移电流，或者是如何产生的。 对维多利亚时代的许多物理学家来说，这种物理机制的缺乏可以说是灾难。 现在，我们愿意接受这样的物理理论。 例如量子力学，虽然违背了我们日常的直觉，但只要在数学上严格成立，具备强大的预测能力就足够了。

麦克斯韦一代的研究者们也注意到了该理论存在的其他严重缺陷。 例如，麦克斯韦假设振动的电场和磁场都形成了波，但没有论述这些波是如何在空间中传播的。 当时，所有已知的波动都需要通过介质传播。 例如，声波在空气和水中传播。 当时的物理学家们推测，如果存在电磁波，无论无色、无味、无形，都一定会存在合适的传输介质。

麦克斯韦也相信这种媒体，也就是被称为以太网的存在。 他认为以太充满了所有的空间，电磁行为就是由于这种以太网上的压缩、扩展和运动。 但是在1865年，在2卷本的《电和磁的论述》( treatise One LECITyand Magnetism )中，麦克斯韦没有采用任何力学模型，而是展示了方程，这些神秘的电磁波是如何传播的，为什么？ 而且对一代很多科学家来说，模型的缺失看起来让麦克斯韦的理论变得非常不完整。

也许最重要的是，麦克斯韦对理论的自我叙述很多，复杂得惊人。 大学生们可能怀着敬畏之心接受四则麦克斯韦方程，但理解这个物理学家的实际构想太难了。 虽然简洁地表达这些方程需要一定的数学基础，但是在麦克斯韦开展研究时，这些数学知识还没有完全形成。 具体而言，需要使用向量微积分，这是一种编写三维向量微分方程的简单方法。

目前，麦克斯韦理论可以归纳为四则方程。 但是当时，他用带有20个变量的20个联立方程式表达了自己的构想。 方程式的维度参数( x、y、z轴方向)必须分别表示。 另外，他使用了一点不直观的参数。 当然，我们现在习惯了电磁场的思维方式，用它来处理问题。 但是，麦克斯韦主要利用另一种被称为电磁动量的场，可以根据电磁动量计算法拉第最初假设的电场和磁场。 麦克斯韦可能已经在这种情况下，也就是说现在我们被称为磁矢势。 之所以选择名字，是因为对时间的导数是电磁力。 但是，电磁波如何被导电性表面反射等，很多与计算边界相关的简单电磁行为，磁势对我们都没有用。

这种多样性和复杂性带来的最终结果是，麦克斯韦的理论第一次出现时几乎无人问津。

插图来源: Lorenzo彼得安东尼

但是，有一点人观察了麦克斯韦的研究。 奥利弗·赫维赛德( oliver heaviside )就是其中之一。 赫维赛德出生于极度贫困的家庭，听力有一部分障碍，没有上过大学，曾经有朋友把它形容为“一等怪人”。 他通过自学完全掌握了高等科学和数学。

在接触1873年麦克斯韦出版的《电与磁的论述》一书时，赫维赛德刚过20岁，在英格兰东北部的纽卡斯尔担任电报员的工作。 “我越来越觉得那个很棒。 ”他后来写道:“于是我决心读这本书，很快就开始了研究。” 第二年，他辞去工作搬到父母家，开始研究麦克斯韦的理论。

哈维把麦克斯韦方程组改写成了现在的形式。 他的大部分研究工作是在隐居状态下完成的。 1884年夏天，赫维赛德对电路中的能量如何输送进行了调查。 他想处理这样的问题。 电流携带的能量在电路里吗？ 还是在电路周围的电磁场里？

赫维赛德最终得出了另一位英国物理学家约翰·亨利·博廷( john henry poynting )公开的结论。 但是，前者显然走得很远，在处理许多复杂的向量微积分问题的过程中，赫维赛德碰巧找到了形式，可以将麦克斯韦的20个方程重新表述为目前采用的四则方程。

改写的关键是放弃麦克斯韦奇怪的磁箭之势。 “直到把所有的磁箭都扔出了天空的云外，我才稍加眉目，”赫维赛德后来这样说道。 新的表现形式把电磁场放在了主要的中心地位。

这项事业的成果之一是强调了麦克斯韦方程组的奇妙对称性。 这四个方程中，一个展示了变化的磁场如何产生电场(法拉第的发现)，另一个展示了变化的电场如何产生磁场(著名的位移电流理论，来自麦克斯韦的补充)。

这个改写带来了一个谜。 像电子和离子这样的电荷，在其周围存在着从电荷本身发出的电场线。 但磁场线不存在源头:在我们已知的世界里，磁场线总是连续封闭的，没有起点也没有终点。

假设这种不对称性难以打倒河滨，补充了表示磁“荷”的物理量，还没有被发现。 事实也确实如此。 从那以后，物理学家们一直在寻找被称为磁单极子的磁荷。 但是，迄今为止，没有任何人发现他们的踪迹。

然而，磁流这一实用妙策也可以用于处理某些具有几何性质的电磁问题，例如解释通过导电层狭缝的辐射行为。

如果赫维赛德方程把麦克斯韦方程完善到这个程度，为什么不叫赫维赛德方程呢？ 1893年，在三卷本《电磁理论》( electromagnetic theory )一书第一卷的序言中，赫维赛德亲自解答。 他说:“我相信给他看《麦克斯韦》时，会承认改写的必要性。 否则，我认为今后修正的理论最好被称为麦克斯韦理论。”除非我们有充分的理由，否则就写了下来。

虽然数学美感相同，但找到麦克斯韦理论的实验证据是一样的。 1879年，48岁的麦克斯韦伸出了手。 当时也认为他的理论不完整。 除了可见光的光速和电磁辐射的速度，似乎没有任何实验证据表明光是由电磁波构成的。 另外，在电磁波形成光的情况下，麦克斯韦并没有特别指出前者应该具备的许多性质，即反射和折射等行为。

物理学家乔治·弗朗西斯·菲茨杰拉德( george francis fitzgerald )和奥利弗·洛基( oliver lodge )的事业加强了电磁波和光的相关性。 两人都是麦克斯韦《电与磁论述》的支持者，在麦克斯韦去世前一年，他们在英国科学促进协会( Britishassociation Forthead Vancement OFSCience )在都柏林召开的会议上相识后，这里 他们之间的通信和赫维赛德的通信推动了科学界对麦克斯韦学说的理论认知。

正如历史学家亨特在着作《麦克斯韦学派》( the maxwellians )中概述的那样，洛基和菲茨杰拉德也希望发现实验证据，支持光是电磁波的理论。 但当时他们没有什么进展。 19世纪70年代末，洛基设计了一点电路。 他本来希望这些电路能把低频电流转换成高频光，但这样的努力以失败告终。 洛奇和菲茨杰拉德注意到，这个方案产生的辐射频率太低了，肉眼无法感知。

约10年后，在进行防雷实验期间，洛基观察到导线旁边的放电容量产生电弧。 出于好奇，他改变了导线的长度，结果电容器出现了夺目的闪光灯。 他正确地推断这是电磁波共振引起的现象。 罗斯意识到，如果能量充足，他实际上可以电离导线周围的空气。 这就是引人注目的驻波实例。

洛基确信产生并探测到了电磁波，从阿尔卑斯山度假回来后，他将在英国科学促进协会的会议上报告这项惊人的研究成果。 但是，在离开利物浦的列车上，一份杂志的复印件让别人认识到了自己的发现被别人再现和发行了。 在这本1888年7月的《物理学年刊》( annalen der physik )中，我读了题为“关于空气中的电力动力的变动及其反射”的复印件。 的作者是不知名的德国研究者海因里希·赫兹( heinrich hertz )。

从1886年开始，位于德国卡尔斯鲁厄理工大学(现在的卡尔斯鲁厄理工大学)的在籍赫兹以论文主题为中心展开研究。 他观察到，当一组线圈对电容器放电时，在相距不远的另一组完全相同的线圈互不相连的末端之间会产生电弧这一奇怪现象。 赫兹注意到，未连接的线圈中产生的闪光是由接收电磁波引起的，而电磁波是由具有放电容量的线圈激励的。

于是，倍受鼓舞的赫兹开始利用这种线圈的闪光来检测看不见的射频波动。 他反复进行了实验，证实了电磁波也会显示出反射、折射、衍射、偏振光等类似光的行为。 他在真空和导线周围做了很多实验。 赫兹还制造了电磁波通过沥青透过的棱镜。 他使用这个1米以上高度的棱镜，注意了比较明显的反射和折射现象。 他向平行导线构成的网格发射电磁波，确认电磁波反射或通过网格。 具体效果取决于后者的方向。 这个结果表明电磁波是横向的:和光一样，振动方向与传播方向垂直。 赫兹也用大锌板反射电波，抵消产生的驻波中零点之间的距离，从而明确了这种波动的波长。

赫兹通过测量这类电路在发射天线上的电容和电感量来计算电磁辐射的频率，加上上面的波长数据，他就可以计算这种隐形波动的传输速度，这个数值与已知的可见光传输速度非常接近。

奇怪的无线电:海因里希·赫兹利用线圈(左侧)和天线(右侧)生成并检测到可视范围外的电磁辐射。 (图片来源:卡尔斯规则理工大学文件)

麦克斯韦假设光是电磁波。 赫兹证实了整个宇宙的不可见电磁波很可能有可见光一样的行为，在宇宙中的传输速度也和可见光一样。 从推理的角度来说，让大家接受光本身也是电磁波的论断，这些启示很充分。

赫兹研究事业的出色和完善极大地补偿了洛基对被剥夺标题的失望。 于是，洛基和菲茨杰拉德致力于宣传赫兹的发现，他们将其成果提交给了英国科学促进协会。 很快赫兹的事业又启发了无线电报的发明。 在早期雏形阶段，该技术中使用的发射装置与赫兹采用的宽带火花隙装置非常相似。

最终，科学家们接受了电磁波在真空中传播的观点。 由于缺乏行之有效的力学机制，一开始未见的场论，也在现代物理的大部分层面占据着核心地位。

下一个故事更精彩。 多亏了这些敬业科学家的不懈努力，麦克斯韦的理论到19世纪末才真正站稳脚跟。

麦克斯韦学派的研究里程碑

1785年

查理·奥古斯丁·库伦( charles-augustin de coulomb )发现，两个电荷之间的作用力与距离的平方成反比。

1800年

亚历山大·博尔特首次发明了电池，实验科学家们得以利用连续的直流电开始研究。

1820年

插图来源:维基百科

汉斯·克里斯蒂安·奥斯特发现，当接近通电导线时，指南针的指针会发生偏转。 这是第一个电磁之间的证据。

1820年

安德鲁·玛丽安培的研究表明，两条平行通电导线表现出相互吸引和排斥的作用，具体作用效果取决于电流的相对方向。

1831年

迈克尔·法拉第假设存在电场和磁场，发现了电磁感应现象。

1831年

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦出生于爱丁堡。

1855年

关于麦克斯韦法拉第观测现象及其相关理论的第一篇论文发表了。

1861年和1862年

麦克斯韦发表了一篇名为《关于法拉第力线》的论文。 这篇论文分为四个部分，介绍了可以通过表面的电通量变化来产生磁场的核心理论。

1864年

麦克斯韦向伦敦的英国皇家学会提交了最新的研究成果，并在第二年发表了论文。 根据这项研究，电场和磁场可以像波一样在空间中传播，光本身就是这样的波动。

1873年

麦克斯韦出版了《电和磁的论述》。 这本书包括更进一步的数学成果和解释工作。

1879年

皇家科学院发起了一场寻找支持和驳斥电磁波存在的实验证据的竞赛，被煽动的海因里希·赫兹对麦克斯韦的研究产生了兴趣。

1879年

麦克斯韦因患胃癌去世，享年48岁。

1885年

奥利弗·赫维赛德发表了将20个方程式减少为4个的紧凑型麦克斯韦方程式。

1888年

搬到设备齐全的卡尔斯鲁厄实验室后，赫兹花了几年终于证明了麦克斯韦预测的电磁波是真实存在的。

1940年

阿尔伯特·爱因斯坦的专集《关于理论物理基础的思考》( Consideration Sconcerning The Fundament Softhe Oretical Physics )大大提高了“麦克斯韦方程”一词的知名度。

作者詹姆斯·劳蒂奥( james c. rautio )是sonnet software企业的创始人。 原标题:《路漫漫其修远——麦克斯韦方程式进化史》

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