“这个古老的数学难题 被两名在家隔离的数学家破解了”

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鱼和羊白色的交配来自凹非寺

量子报道|公众号qbitai

疫情期间，有人关在家里数了好几遍地砖，有人有空挖了三室一厅的地板。

来自英国杜伦大学的andrew lobb，和波士顿学院的两位名叫joshua greene的数学家一样，面临着这样的困境。

因为不能工作了，在家真的很闲很无聊，所以他们翻了翻手里积攒的一堆数学题，选了其中看起来最没前途的——连陶哲轩都没处理。

简单的闭环总是找四个点形成任意宽高比的矩形吗？

谁知道在一些视频连接在线脑暴力下，他们以为真正应对了1911年产生的古老的数学难题？

论文共有六页。

当他们发表解释结果时，布朗大学的数学家richard schwartz佩服地说:我不认为处理这个问题的正确方法是这样的。

内接方形问题

这个问题被称为内接方形问题(或方形钉子问题)，来源于1911年，妥当的“百年老问题”。

当时，德国数学家otto toeplitz预测，简单的闭合曲线中，含有4个形成正方形的点。

听起来像高中生用尺子可以应对的问题。

但是，一百多年过去了，很多数学家面对继承人，一直没能最终解释这个猜想。

华盛顿和李大副教授elizabeth denne说:“这个问题说起来简单，容易理解，但解释起来真的不容易。 “”

但是，在这个过程中，数学家们提出的解题思路，也成为了继承人实现突破的阶梯。

用莫比乌斯带求解内接矩形问题

1977年，数学家herbert vaughan首先在内接矩形问题上取得突破，开创了思考矩形几何形状的新思路。

说明方法大致如下。

首先，不要把矩形看成四个相连的点，而是看成两组相互有特定关系的点。

在ac、bd这两对点之间，有共同的中点，同时ac = bd。

也就是说，对于任意闭环，如果能找到满足以上条件的2对不同点，就能说明这样的曲线上总是存在矩形。

相当于通过f(a，b ) = (x，y，z )这个函数，可以对一对点的中点和距离新闻进行编码。

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在中点绘制垂直于曲线平面的直线。 线段的长度等于两点之间的距离。

这样，曲线中的所有点对就构成了一个曲面。 该曲面以环为底，同时连续。

这样一来，如果该曲面上存在交点，那么必然会出现两对点的中点相同，而且由这两对点构成的两个连接长度相同的问题。

这不就是矩形两条对角线交点的性质吗？ 这样就可以解释矩形的存在。

herbert vaughan发现，如果取曲线上的一对点( x，y )进行描绘，将会得到莫比乌斯带这一惊人的形状。

莫比乌斯就是这样，有着表里不一的二维魔法带。

否则，请试着找一下正面

也就是说，莫比乌斯带上的几个和曲线上的一对一点有一对一的关系。

△图源: Quanta杂志

此时，将莫比乌斯带映射在由f(a，b ) = (x，y，z )构成的三维曲面上。 莫比乌斯带的边界与平面上的环相对应。

莫比乌斯呈扭曲的特殊形状，如果将其边界平整成二维平面，他自己就决定一定会相交。

这表明确实有两对不同点，映射在三维曲面的同一点上。

以上结束，在三维空间中，无论在哪个闭环中，至少存在这样的4点，能够构成1个矩形。

陶哲轩:用积分方法处理特定情况下的内接方形问题

另一位数学天才陶哲轩在这个问题上更进一步。

他用积分的方法说明，在曲线由两个常数小于1的lipschitz图形组成的特殊情况下，该曲线必定存在能够构成四个正方形的点。

但是，这也没有完全处理内接正方形问题。

总之，对于平面上的任意简单闭环，矩形的存在已经被说明，但任何宽高比的矩形(包括正方形)都可以存在，迄今为止的数学家们都无法处理。

joshua greene和andrew lobb在疫情期间，根据herbert vaughan的做法，彻底处理了这个问题。

说明的想法是:

如果说明存在任意宽高比的内接矩形，则方形(宽高1∶1的矩形)也必然存在。

而且这个结论比陶哲轩想要说明的内接方形的结论要强。

将莫比乌斯带嵌入四维空间

正式的研究还参考了去年11月普林斯顿大学研究生cole hugelmeyer的研究。

该研究介绍了用“嵌入”法分解莫比乌斯带的方法。 具体而言:

假设一维直线，则每个点只由一个数字表示。

如果将此直线放置在二维空间(如xy平面)中，则直线上的每个点用两个数字表示。 例如，xy平面上的xy2坐标。

放在四维空间中会显示四个数字。

想法很好，但是有如何明确四维坐标的问题。 这是cole hugelmeyer研究的核心。

按照vaughan的想法，从莫比乌斯带的定点开始。 表示原始闭合曲线上的两个点(一对点)，并找到一对点的中点。

那么，在这个中点有对应的x和y坐标，可以得到具体的坐标值。

然后，测量闭环上两个原点之间的直线距离，得到第三个坐标。

最后，将通过两个原点的直线与x轴的正方向所成的角作为第四个坐标。

因为明确了4个坐标，所以可以用与四维空间相对应的几个坐标表示莫比乌斯带。

就像在xy平面上向轴平移一样，只有一个坐标会发生改变。

那么，无论以何种立场使莫比乌斯带围绕中心点( a，b )随机旋转，都只会改变最后的坐标值，而其他性质不会改变。

因此，hugelmeyer表示，只有三分之一的旋转会与原始图形产生交叉。

也就是说，可以找到三分之一的任意宽高比的矩形，意味着问题没有得到完全处理。

如果能说明莫比乌斯带所有可能的旋转，就会出现交点。 这等同于说明可以找到所有可能的宽高比矩形。

剩下的三分之二呢？

如果嵌入四维空间是比较有效的处理方法，为什么只对三分之一的矩形有用？

greene和lobb皱着眉头，发现事件并不容易。 讲道理，应该得到另三分之二的矩形。

于是，他们把眼球放在四维空间的构建上，既然以往的做法不行，就尝试了辛空间。

“辛空间”的提出首次出现在19世纪的物理系统，如轨道行星的研究中。

有学者认为，当行星通过三维空间时，其位置在三个坐标上变得明确，然后可以在行星运动的各点上放置表示行星动量的向量。

于是他们开始了将二维的莫比乌斯带“嵌入”到四维单体空间的尝试。

嵌入辛空间需要辛几何学的工具，其中很多与空间如何相交的问题直接相关。

这时，克莱因瓶帮助了他们的彻底处理。

克莱因的瓶子长度是这样的。

克莱因瓶可以看做更高次的莫比乌斯带，莫比乌斯带只有一条边，克莱因瓶只有一个面，它们既不在外面，也不在外面。

除此之外，还有把两条莫比乌斯带绑在一起做成克莱因瓶的关系。

后来发现克莱因瓶无法嵌入四维辛空间，不会相交！

并且，他们还解释了莫比乌斯带嵌入四维辛空间不相交。

在空间里旋转莫比乌斯带可以制造克莱因瓶。 在这个过程中，如果莫比乌斯带不相交，可以进一步制作出不想在四维辛空间交叉的克莱因瓶。

这显然与以前的结论相矛盾。

所以转动莫比乌斯带，旋转的复制品一定会和原来相交。

也就是说，闭合的平滑曲线必须包含四个可连接的点的集合，以形成所有纵横比的矩形。

问题被证实了！

关于作者

最后，让我们认识一下这两位处理百年数学难题的数学家。

一个是andrew lobb，本科就读于牛津大学，在哈佛大学获得博士学位，现在在杜伦大学担任助理教授，也是日本冲绳科学技术大学excellence chair。

另一位是joshua greene，在芝加哥大学、普林斯顿大学获得硕士、博士学位，现在是波士顿学院的教授。

如果想知道更多他们说明的详细情况，请接受下一个传送门~

说明论文的链接:

arxiv/abs/2005.09193

cole hugelmeyer的研究:

arxiv/abs/1911.07336

陶哲轩相关研究:

arxiv/abs/1611.07441

参考链接:

有线/存储/一体化体系结构/

bilibili /视频/ bv1rs411 x7sb

作者是网易信息网易号《各有态度》的签约作者

——原标题:“陶哲轩挑战失败的百年数学题被两位在家隔离的数学家打破了。”

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