“两圆重叠问题你会求解吗？这个问题的准确答案 德国数学家最近才找到”

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从姜凹非寺出来

量子报道|公众号qbitai

让我们先来看看简单的几何问题

在下图中，黑色圆正好等分红色圆的面积，黑色圆的中心正好在红色圆上。 设红色半径为r，黑色圆半径为r，求出r。 你觉得可以再转一下手，在纸上演算吗？

但是，这个看似简单的数学课题，让数学家们思考了数百年，却没能给出其解析解。

解析是指用正确的数学公式写的方程式的解。 有些方程很难求解析解，只能写近似解。 如下图所示，x=cos(x )没有解析解，方程式的解只能近似为x≈0.7390…△x=cos(x )，x没有解析解

这个难的数学家的问题被称为“山羊问题”( goat problem )，最初的问题记述如下。

请把山羊拴在一英亩圆形草坪的围栏上。 为了让山羊能吃半英亩的草，要系多长的绳子？ 提出问题后，现有数学家给出了两种求解方程。

但是，只是“方程”:这个问题的确切答案是用篱笆半径精确地表示绳子的长度，但还没有解开。

美国海军学院的数学家mark meyerson曾就此问题表示:“至今为止，没有人知道确切的答案，处理方法只是大致给出了。”

直到今年，一位名叫ingo ullisch的德国数学家，给出了这个问题的解析解。 从迭代到积分，求出的还是方程

用数学语言解释这个问题的话，它会变成这样。

一个半径为r的圆a与另一个半径为r的圆b相交。 其中，圆b的中心在圆a上，两个圆的交叉面积为圆a面积的一半，求r。 如果只列举有关r的方程式，现在有两种方案。

第一种方案是代入求透镜面积的方程式。 透镜由两个(半径相同或不同)圆交叉构成，有求出其面积a的公式(但是，两个圆的半径为r和r，圆中心之间的距离为d )。 很明显，“山羊问题”也可以用镜头面积方程式来求解。

如果围栏半径为1，那么在“山羊问题”中，求解条件为r=d=1，且a=1/2π，求解的r符合这个方程:这个方程需要用迭代法求解，得到r=1.1587…的答案。

但这不是数学家想要的结果。

对此，数学家们试图通过求积分来处理这个问题，提出了第二个方案:这次，他们求出了左边有r的公式，但遗憾的是，这实际上是方程(方程中有自变量多项式和开方无法表达的函数，x = CCD )。

最后使用了复变函数

直到今年，一位叫ingo ullisch的科学家，才给出了问题的正确解析解。

但是，为了解决这个问题，他甚至使用了复变函数的知识，这也使公式变多变复杂了。

但也得益于他的贡献，这个问题提出以来，首次有了解析解:那么，这个公式是如何解决的呢？

根据ullisch的想法，他在两个圆的中心连接任一交点，构成三角形，如下图所示。 其中，三角形的两个底角分别为α/2和β/2。

经过一系列复杂的运算，ullisch把公式简化为以下方程式。

如果解这个方程式，可以得到解析解，但是会使用复函数关联的定理。

ullisch先生说，这个问题之所以很多，是因为问题本质上赋予了面积固定值，相当于将其输入颠倒了。

但是，如果逆转这个过程，相反地解开输入的定义，问题就会变得麻烦起来。

cmu的数学教授michael harrison说，这是他所知道的关于“山羊问题”的第一个确定的解析解。

“这绝对是进步。 ”

这也是山羊问题系列中最原始、最根本、最难的问题之一。

关于山羊的问题，还有这么多

实际上，1748年以来，数学家们从最原始的山羊问题出发，思考了各种问题的变体(变了花样找难题做)。

例如，让山羊在围栏里吃草，让山羊在围栏外吃草，计算能吃的最大草原面积(其中，绳子长度和围栏周长是固定的) :另外，让羊在空中飞，在三维世界里吃草(空间的山羊问题) :。

但是，兰开斯特大学的数学教授graham jameson说:“三维问题实际上比二维问题更容易处理。”

数学家fraser说，这是因为，如果把问题放在无限的维度上，数学家们就能推理出更确切的答案。 例如，如果将这个问题放置在n维空间中，则fraser估计n接近无限大时，绳索与限定球的半径比接近√2。

但是，在二维世界里，这种确定的答案反而很难寻找。

因此，此次ullisch求出的解析解也是“山羊问题”系列的一大突破。

但是ullisch也承认，这个问题的处理并不迫切需要教科书和数学的研究。 因为这是一个孤立的问题，不仅仅是其他问题，数学理论也没有纳入其中。 但是数学家们仍然非常兴奋。

mark meyerson先生表示:。

为数学问题寻找新的解法一般很有价值，这些解法不仅可以给再次处理的问题带来新思路，还可以在其他问题上进行宣传。

数学家哈里森是这样认为的

虽然处理放牧山羊的问题无法取得划时代的数学成果，但数学行业的新方向，可能永远来自何方。

对于山羊问题超出方程式的hoffman也有同样的看法。

并非所有的数学进步都来自取得根本性突破的人。 在某些情况下，这种进步还包括研究经典方法，找出新的立场，最终可能会产生意想不到的效果。

当然，网民在庆祝之余，也有人表示这个问题“不太符合生活常识”。 我想这个问题是没有山羊相关经验的人提出的。 因为我想到山羊，就想到跳围栏，咬绳子……没能集中精力解决这个问题。 山羊问题解析解论文:

link.springer/article/10.1007/s 00283-020-09966-0

参考链接:

news.y组合器/项目？ id=25375575

选择“Quanta杂志”/“土方机械-解决方案-中心-保留-网格化-入口-净化- 2009 /”。

维基百科/维基百科/ goat _ problem # cite _ note-1

——完

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